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数学哲学讲座4
作者：玄易居士发表时间：2019-03-07 08:54:41 更新时间：2019-03-07 08:54:41

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数学哲学讲座

幻影思维学群（166302011）2013年2月21日晚7：00

本文版权属于玄易居士，思维学网siweixue.com，您可以自由转载、传播本文，但请勿用于任何商业目的，转载传播请保持文章的完整性。

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:00:41

今天，我们讲数学哲学最后一讲

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:02:12

在前面，我们讲了数学的本质

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:02:57

今天，讲一下数学的产生、建立的一般原则，以及数学发展的一般规律

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:04:34

我们前面讲过，说数学的表现形态是多种多样的，但是无论何种形态的数学理论的建立，都要受到实践和思维两方面因素的约束

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:05:16

具体表现为三个方面

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:06:11

第一，数学理论是在解决实际问题的过程中产生的，伴生于具体问题之中

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:07:39

我在生活中会遇到各种各样的具体问题，并会用我们的思维去解决，而此每一问题解决方法相比较，思维过程的难度与复杂程度等不同，这样就产生了如何减轻人类负担的问题，于是，数学就伴生于其中，这是实践决定实现发展的体现。

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:08:06

举个例子来说，自然数的产生，就是基于计数的需要

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:08:44

古人结绳记事，慢慢产生了数的概念，

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:09:31

分数的产生，也是因为自然数无法满足人们计数的需要，为了正精确地计数，所以产生了分数

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:10:50

对于几何学的产生，是古人为了量地、分地的需要

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:11:23

或许还有建筑的实践的需要、观测星象的需要，等等

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:12:27

微积分的产生，是因为牛顿力学计算的需要

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:12:49

当初创立微积分的有两个人，牛顿和莱布尼兹

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:13:51

他们独立创立了微积分，而且，他们的继承者还互不相让，于是英国人对于微积分的表示方法，和欧洲大陆的表示方法，有着很大的差别

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:13:58

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:14:15

其实，还是莱布尼兹的表示方法更简洁一些

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:14:36

所以我们现在所学的，就是从莱布尼兹的方法发展而来的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:17:05

除了直接的应用，也有因为研究数学二产生的纯粹的数学

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:17:33

比如，虚数的产生，就是纯理论推广而来

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:18:04

群理论的产生，就是为了解决一元五次方程问题二产生的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:18:44

非欧几何的产生，就是为了证明第五公设问题的副产品

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:19:14

当然，非欧几何中的黎曼几何，后来称为广义相对论的数学工具

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:19:29

这是黎曼几何的创立者所没有想到的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:21:29

数学理论建立的第二个方面，就是数学理论的建立，要符合逻辑规则

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:21:58

符合逻辑规则，是思维因素所决定的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:22:42

数学，只有符合逻辑规则，才能保证是正确的，才可以用于推理、用于解决实际问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:23:16

符合逻辑，这一条应该很好理解，不多说了

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:23:29

第三，数学的本质思想史形式化

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:25:06

形式化可以使的数学能够摆脱具体问题的限制，使得数学越来越抽象

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:25:22

同时也扩大了数学的应用范围

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:26:09

举个例子来讲，我们数手指头、数苹果、数糖块，用的都是自然数，

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:26:20

而不是用三种理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:27:01

我们不可能数手指头使用一套自然数理论，数苹果又使用另外一套自然数理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:27:34

自然数理论的形式化，使得我们摆脱了手指头、苹果或者糖块的限制

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:28:10

以不变应万变，一套自然数理论数万物

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:30:07

需要指出的是，数学的这种形式化，是有层次的，形式化的基础上，还可以进一步形式化

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:30:50

比如，我们的自然数理论是对数苹果数糖块的形式化，自然数理论有扩展为代数理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:31:57

为了解决代数理论中的一元五次方程问题，伽罗瓦又对代数进一步抽象、进一步形式化，于是产生了群理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:32:34

我们所学的代数理论，不过时伽罗瓦理论的一个特例而已

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:32:59

就好像，我们数苹果，不过时自然数理论的一个特例

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:33:47

我们所学的自然数理论、有理数理论、实数理论，也不过是伽罗瓦群理论的一个特例而已

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:34:37

这里说的是数学的形式化问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:36:07

下面再说说数学发展的一般规律

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:38:15

我们前面说过完备性和纯粹性的概念

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:38:38

数学的发展，实际上就是完备性和纯粹性相互作用的结果

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:39:15

数学有没有到达完备性的那一天呢，哥德尔不完全性定理告诉我们

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:39:54

数学，无论怎样发展，总是不完备的，所以，数学理论的发展，也是无止境的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:40:38

数学不断发展的结果，总是使数学对象的范围越来越大，数学体系越来越完善，数学表现形式越来越简明，即数学表现形态越来越高级。事实上，数学对象、数学体系和数学表现形式分别可以作为衡量数学解放程数学数学度，数学发达程度和数学成熟的标准。

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:42:57

下面再说说数系的扩张，我们在幻影空间那一部分讲过扩张

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:43:58

在扩张的类型中，有一个理想扩张的的概念

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:45:16

我们当时说，自然数向整数的扩张，就是自然数关于加法运算的全理想扩张

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:46:18

打错了，呵呵不是全理想扩张，是半理想扩张

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:48:44

正整数向分数的扩张，估计也是关于乘法运算的一种半理想扩张，没仔细考虑，不敢定论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:49:42

数系在正整数向整数扩张的过程中，满足了减法运算的完备性

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:51:00

整数向分数的扩张，也是为了适应除法运算而扩张的，

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:51:42

但是对于除法运算，出现了盲点，那就是0不能做除数

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:52:08

一旦出现了0做除数的情况，就会变得没有意义

玄易居士(hi@siweixue.com)19:52:56

如果在计算器中输入99除以0，马上就会出现E，错误

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:53:29

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:53:32

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:53:37

这是我的电脑截图

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:54:09

要是手持计算器，估计会在最左端显示字母“E”

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:55:13

如果在C++编程中，不小心出现了除数为0的情况，程序就会出现错误、崩溃、退出

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:56:23

为了解决0不能做除数的问题，昨天我们讲的那个有限无穷理论，就可以解决的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:56:40

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:57:25

对于有限无穷的想法，昨天已经讲了很多，今天就不讲了

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:58:23

在数学哲学中，还有一个颇有争议的问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:58:31

那就是数学的真理性

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:58:43

第一，数学究竟是不是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:59:09

第二，数学是否真理，应该由什么标准来判定呢

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:00:29

对于数学是不是真理，有人认为，数学的高度形式化，以及一些约定、还有一些可真可假的命题的存在

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:00:56

使得数学丧失了真理性

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:01:16

也就是说，不承认数学是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:03:09

如果不承认数学是真理的话，有一个尴尬的处境，那就是，如果数学不是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:03:36

那么由数学推导所得出的结论，还能是真理吗？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:03:39

显然不行

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:03

所以呢，我觉得，数学还是具有真理性的

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:16

也就是说，我们得承认数学是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:31

第二个问题，如何判断数学是不是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:45

其实，第一个问题解决了，这个问题，就多余了

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:05:05

但是也有人提出这个问题，锁业这里简单说一下

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:05:29

对于数学的真理性的判断，一般而言，有两派观点

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:05:47

一派认为实践是判断数学是不是真理的标准

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:06:19

另外一派认为逻辑是判断数学是不是真理的标准

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:06:39

两种说法都有道理，但是我倾向于第二点

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:07:17

只要符合逻辑，数学就是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:07:41

玄易居士(hi@siweixue.com)20:08:17

说到这里了，我们就说个数学的特殊特征

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:08:25

那就是数学永远是真的

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:08:35

如果有哪天，你发现数学错了

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:08:56

那么不是数学错了，而是你把数学用错地方了

哈巴金********(4********)20:09:48

我现在一个头两个大

哈巴金********(4********)20:09:49

哈哈

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:12

就好像一把菜刀，菜刀永远没错，你用来菜刀切菜，很好，菜刀可以很好的完成任务

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:27

琉璃啊

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:36

有事呢么地方不明白么

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:56

有什么地方不明白么

哈巴金********(4********)20:11:42

我初中之后数学基本就被放弃了今天讲的。。。一团浆糊

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:11:52

还是说菜刀，如果你用菜刀来上网，你会发现，菜刀不能用来登录QQ，也不能浏览网页

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:09

你说能怪菜刀么？？？

哈巴金********(4********)20:12:22

工具用的不对

宣(1********)20:12:25

菜刀不能上网

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:34

不能，菜刀没错，错的是你用错了地方

哈巴金********(4********)20:12:36

用菜刀的那个人不会

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:37

就是啊

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:50

如果你非要用菜刀上网，别人也没法子啊

宣(1********)20:13:00

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:13:03

数学也是这样的

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:13:38

我们用自然数来数苹果，一般没问题，一个两个三个，再加三个就是六个

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:14:17

用来计算水的质量、体积也可以

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:14:52

2斤水加上5斤水，就是7斤

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:15:17

3升水加上6升水，就是9升水

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:15:20

也没问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:15:23

可以这样算

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:16:06

但是如果是1升水加1升酒精，合起来是2升吗？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:16:13

1+1=2，没错啊

宣(1********)20:16:14

玄易居士(hi@siweixue.com)20:16:48

宣，你是说1+1不等于2？

宣(1********)20:17:02

不一定

宣(1********)20:17:08

看什么时候

宣(1********)20:17:21

得分情况处理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:17:30

1+1=2没错，但是不能用到这个地方

宣(1********)20:17:58

嗯嗯

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:18:10

其实，严格的来说，就像哲学一样，如果只有数学，那么数学不能解决任何实际问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:18:53

我们应用数学，都有一定的条件的，其实，那些附加条件，不仅仅是数学，更是一些生活经验

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:19:28

大家还记得那个公理化模式么？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:19:45

我们的数学，其实就相当于公理化系统

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:20:13

要是想应用数学，还得需要一个解释系统，与生活实际联系起来

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:20:28

我们为什么能够用自然数来数苹果？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:20:44

为什么？谁知道理论依据？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:21:35

宣，知道为什么吗？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:22:22

在小学有一个计数原理，大家听说过吗？

宣(1********)20:22:29

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:23:12

呵呵，没听过就没听过吧

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:23:18

不过大家都会用

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:23:43

计数原理，就把数数行为和自然数联系起来

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:24:18

正因为有计数原理作保证，我们才可以用自然数来数苹果、数糖块

欧阳琼(18********)20:25:21

居士是喜欢演讲还是喜欢讨论？

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:25:35

计数原理，主要是说，我们数东西的时候，要一个一个的数，不能重复，也布恩那个漏掉，从1数起，数一个东西，数九加一

欧阳琼(18********)20:25:45

若是演讲，则你继续讲；若是讨论，我现在和你讨论

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:26:11

我说完这点，马上可以讨论

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:26:45

数到最后一个物体，对应的自然数就是所有物体的数量

玄易居士(hi@siweixue.com)20:26:50

我们讨论吧

不是结束的结束，数学哲学讲座到此结束。