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瞻前顾后理解深,一题多法练习跟。一定做到知懂会,熟能生巧若有神。
  ——玄易居士


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数学哲学讲座4
作者:玄易居士 发表时间:2019-03-07 08:54:41 更新时间:2019-03-07 08:54:41

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数学哲学讲座

幻影思维学群(1663020112013221日晚700

 

本文版权属于玄易居士,思维学网siweixue.com,您可以自由转载、传播本文,但请勿用于任何商业目的,转载传播请保持文章的完整性。

 

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:00:41

今天,我们讲数学哲学最后一讲

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:02:12

在前面,我们讲了数学的本质

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:02:57

今天,讲一下数学的产生、建立的一般原则,以及数学发展的一般规律

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:04:34

我们前面讲过,说数学的表现形态是多种多样的,但是无论何种形态的数学理论的建立,都要受到实践和思维两方面因素的约束

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:05:16

具体表现为三个方面

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:06:11

第一,数学理论是在解决实际问题的过程中产生的,伴生于具体问题之中

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:07:39

我在生活中会遇到各种各样的具体问题,并会用我们的思维去解决,而此每一问题解决方法相比较,思维过程的难度与复杂程度等不同,这样就产生了如何减轻人类负担的问题,于是,数学就伴生于其中,这是实践决定实现发展的体现。

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:08:06

举个例子来说,自然数的产生,就是基于计数的需要

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:08:44

古人结绳记事,慢慢产生了数的概念,

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:09:31

分数的产生,也是因为自然数无法满足人们计数的需要,为了正精确地计数,所以产生了分数

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:10:50

对于几何学的产生,是古人为了量地、分地的需要

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:11:23

或许还有建筑的实践的需要、观测星象的需要,等等

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:12:27

微积分的产生,是因为牛顿力学计算的需要

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:12:49

当初创立微积分的有两个人,牛顿和莱布尼兹

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:13:51

他们独立创立了微积分,而且,他们的继承者还互不相让,于是英国人对于微积分的表示方法,和欧洲大陆的表示方法,有着很大的差别

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:13:58


玄易居士(hi@siweixue.com) 19:14:15

其实,还是莱布尼兹的表示方法更简洁一些

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:14:36

所以我们现在所学的,就是从莱布尼兹的方法发展而来的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:17:05

除了直接的应用,也有因为研究数学二产生的纯粹的数学

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:17:33

比如,虚数的产生,就是纯理论推广而来

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:18:04

群理论的产生,就是为了解决一元五次方程问题二产生的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:18:44

非欧几何的产生,就是为了证明第五公设问题的副产品 

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:19:14

当然,非欧几何中的黎曼几何,后来称为广义相对论的数学工具

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:19:29

这是黎曼几何的创立者所没有想到的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:21:29

数学理论建立的第二个方面,就是数学理论的建立,要符合逻辑规则

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:21:58

符合逻辑规则,是思维因素所决定的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:22:42

数学,只有符合逻辑规则,才能保证是正确的,才可以用于推理、用于解决实际问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:23:16

符合逻辑,这一条应该很好理解,不多说了

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:23:29

第三,数学的本质思想史形式化

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:25:06

形式化可以使的数学能够摆脱具体问题的限制,使得数学越来越抽象

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:25:22

同时也扩大了数学的应用范围

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:26:09

举个例子来讲,我们数手指头、数苹果、数糖块,用的都是自然数,

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:26:20

而不是用三种理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:27:01

我们不可能数手指头使用一套自然数理论,数苹果又使用另外一套自然数理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:27:34

自然数理论的形式化,使得我们摆脱了手指头、苹果或者糖块的限制

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:28:10

以不变应万变,一套自然数理论数万物

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:30:07

需要指出的是,数学的这种形式化,是有层次的,形式化的基础上,还可以进一步形式化

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:30:50

比如,我们的自然数理论是对数苹果数糖块的形式化,自然数理论有扩展为代数理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:31:57

为了解决代数理论中的一元五次方程问题,伽罗瓦又对代数进一步抽象、进一步形式化,于是产生了群理论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:32:34

我们所学的代数理论,不过时伽罗瓦理论的一个特例而已

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:32:59

就好像,我们数苹果,不过时自然数理论的一个特例

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:33:47

我们所学的自然数理论、有理数理论、实数理论,也不过是伽罗瓦群理论的一个特例而已

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:34:37

这里说的是数学的形式化问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:36:07

下面再说说数学发展的一般规律

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:38:15

我们前面说过完备性和纯粹性的概念

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:38:38

数学的发展,实际上就是完备性和纯粹性相互作用的结果

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:39:15

数学有没有到达完备性的那一天呢,哥德尔不完全性定理告诉我们

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:39:54

数学,无论怎样发展,总是不完备的,所以,数学理论的发展,也是无止境的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:40:38

数学不断发展的结果,总是使数学对象的范围越来越大,数学体系越来越完善,数学表现形式越来越简明,即数学表现形态越来越高级。事实上,数学对象、数学体系和数学表现形式分别可以作为衡量数学解放程数学数学度,数学发达程度和数学成熟的标准。

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:42:57

下面再说说数系的扩张,我们在幻影空间那一部分讲过扩张

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:43:58

在扩张的类型中,有一个理想扩张的的概念

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:45:16

我们当时说,自然数向整数的扩张,就是自然数关于加法运算的全理想扩张

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:46:18

打错了,呵呵不是全理想扩张,是半理想扩张

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:48:44

正整数向分数的扩张,估计也是关于乘法运算的一种半理想扩张,没仔细考虑,不敢定论

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:49:42

数系在正整数向整数扩张的过程中,满足了减法运算的完备性

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:51:00

整数向分数的扩张,也是为了适应除法运算而扩张的,

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:51:42

但是对于除法运算,出现了盲点,那就是0不能做除数

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:52:08

一旦出现了0做除数的情况,就会变得没有意义

玄易居士(hi@siweixue.com)19:52:56

如果在计算器中输入99除以0,马上就会出现E,错误

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:53:29


玄易居士(hi@siweixue.com) 19:53:32


玄易居士(hi@siweixue.com) 19:53:37

这是我的电脑截图

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:54:09

要是手持计算器,估计会在最左端显示字母“E”

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:55:13

如果在C++编程中,不小心出现了除数为0的情况,程序就会出现错误、崩溃、退出

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:56:23

为了解决0不能做除数的问题,昨天我们讲的那个有限无穷理论,就可以解决的

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:56:40


玄易居士(hi@siweixue.com) 19:57:25

对于有限无穷的想法,昨天已经讲了很多,今天就不讲了

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:58:23

在数学哲学中,还有一个颇有争议的问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:58:31

那就是数学的真理性

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:58:43

第一,数学究竟是不是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 19:59:09

第二,数学是否真理,应该由什么标准来判定呢

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:00:29

对于数学是不是真理,有人认为,数学的高度形式化,以及一些约定、还有一些可真可假的命题的存在

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:00:56

使得数学丧失了真理性

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:01:16

也就是说,不承认数学是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:03:09

如果不承认数学是真理的话,有一个尴尬的处境,那就是,如果数学不是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:03:36

那么由数学推导所得出的结论,还能是真理吗?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:03:39

显然不行

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:03

所以呢,我觉得,数学还是具有真理性的

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:16

也就是说,我们得承认数学是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:31

第二个问题,如何判断数学是不是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:04:45

其实,第一个问题解决了,这个问题,就多余了

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:05:05

但是也有人提出这个问题,锁业这里简单说一下

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:05:29

对于数学的真理性的判断,一般而言,有两派观点

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:05:47

一派认为实践是判断数学是不是真理的标准

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:06:19

另外一派认为逻辑是判断数学是不是真理的标准

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:06:39

两种说法都有道理,但是我倾向于第二点

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:07:17

只要符合逻辑,数学就是真理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:07:41


玄易居士(hi@siweixue.com)20:08:17

说到这里了,我们就说个数学的特殊特征

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:08:25

那就是数学永远是真的

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:08:35

如果有哪天,你发现数学错了

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:08:56

那么不是数学错了,而是你把数学用错地方了

哈巴金********(4********)20:09:48

我现在一个头两个大 

哈巴金********(4********)20:09:49

哈哈

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:12

就好像一把菜刀,菜刀永远没错,你用来菜刀切菜,很好,菜刀可以很好的完成任务

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:27

琉璃啊

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:36

有事呢么地方不明白么

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:10:56

有什么地方不明白么

哈巴金********(4********)20:11:42

我初中之后 数学基本就被放弃了 今天讲的 。。。一团浆糊

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:11:52

还是说菜刀,如果你用菜刀来上网,你会发现,菜刀不能用来登录QQ,也不能浏览网页

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:09

你说能怪菜刀么???

哈巴金********(4********)20:12:22

工具用的不对

宣(1********)20:12:25

菜刀不能上网

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:34

不能,菜刀没错,错的是你用错了地方

哈巴金********(4********)20:12:36

用菜刀的那个人  不会

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:37

就是啊

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:12:50

如果你非要用菜刀上网,别人也没法子啊

宣(1********)20:13:00


玄易居士(hi@siweixue.com) 20:13:03

数学也是这样的

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:13:38

我们用自然数来数苹果,一般没问题,一个两个三个,再加三个就是六个

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:14:17

用来计算水的质量、体积也可以

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:14:52

2斤水加上5斤水,就是7斤

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:15:17

3水加上6升水,就是9升水

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:15:20

也没问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:15:23

可以这样算

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:16:06

但是如果是1升水加1升酒精,合起来是2升吗?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:16:13

1+1=2,没错啊

宣(1********)20:16:14


玄易居士(hi@siweixue.com)20:16:48

宣,你是说1+1不等于2?

宣(1********)20:17:02

不一定

宣(1********)20:17:08

看什么时候

宣(1********)20:17:21

得分情况处理

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:17:30

1+1=2没错,但是不能用到这个地方

宣(1********)20:17:58

嗯嗯

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:18:10

其实,严格的来说,就像哲学一样,如果只有数学,那么数学不能解决任何实际问题

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:18:53

我们应用数学,都有一定的条件的,其实,那些附加条件,不仅仅是数学,更是一些生活经验

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:19:28

大家还记得那个公理化模式么?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:19:45

我们的数学,其实就相当于公理化系统

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:20:13

要是想应用数学,还得需要一个解释系统,与生活实际联系起来

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:20:28

我们为什么能够用自然数来数苹果?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:20:44

为什么?谁知道理论依据?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:21:35

宣,知道为什么吗?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:22:22

在小学有一个计数原理,大家听说过吗?

宣(1********)20:22:29


玄易居士(hi@siweixue.com) 20:23:12

呵呵,没听过就没听过吧

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:23:18

不过大家都会用

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:23:43

计数原理,就把数数行为和自然数联系起来

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:24:18

正因为有计数原理作保证,我们才可以用自然数来数苹果、数糖块

欧阳琼(18********)20:25:21

居士是喜欢演讲还是喜欢讨论?

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:25:35

计数原理,主要是说,我们数东西的时候,要一个一个的数,不能重复,也布恩那个漏掉,从1数起,数一个东西,数九加一

欧阳琼(18********)20:25:45

若是演讲,则你继续讲;若是讨论,我现在和你讨论

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:26:11

我说完这点,马上可以讨论

玄易居士(hi@siweixue.com) 20:26:45

数到最后一个物体,对应的自然数就是所有物体的数量

玄易居士(hi@siweixue.com)20:26:50

我们讨论吧

 

不是结束的结束,数学哲学讲座到此结束。


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