数学哲学讲座
幻影思维学群（166302011）2013年2月18日晚7：00

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玄易居士
数学哲学这一部分，是最初写的一部分，是1999年上大一的时候写的，不过最初的文章不是现在这个样子，后来写了哲学分析与幻影思维学，为了纳入哲学分析与幻影思维学这个框架，做了部分改动。开放模式那个图，也是写数学哲学的时候所做的，关于开方模式，昨天已经讲过了。
数学，不同于普通的自然科学，虽然也有人讲数学归结为自然科学，但是数学跟物理化学等有着本质的差别，最大的不同在于两点：
一、物理化学生物的研究对象，是看得见摸得着的，但是数学的研究对象，是看不见摸不着的。
二、物理化学生物等可以通过实验来证实证伪。
但是数学是没有什么实验的，还有一点，不知道还是学生的小朋友们注意到没有，我们的物理化学教材，刚开始的绪言中，一般会指出，什么是物理，什么是化学，但是我们的数学教材，并没有明确的告诉我们，什么是数学。在物理化学生物教材中，往往有这么一段话：xx是研究xxxxxx的学科/科学/学问，但是没人说数学是研究xxxx的。
这是因为，对于什么是物理什么是化学，学术界有着统一的认识，说出物理或者化学的定义，一般没人会有什么争论的，但是，对于什么是数学，说法就五花八门了，而且，往往大家意见并不相同。还有，对于数学的归属性质，也有着不同的看法，有很多人认为数学属于自然科学的一个分支，这是主流观点。也有人比如钱学森院士，认为数学是独立于自然科学的，应该单独列出，是与自然科学相并列的数学科学，还有人，比如我，认为数学史思维科学的一部分，而思维科学，是与自然科学相并列的。
因为我认为数学史思维科学的一部分，所以呢，就从思维的角度去考虑什么是数学，通过我对数学理解，我觉得，数学的根本属性，就在于它能够减轻人类的思维负担，关于数学哲学的的所有内容，都是以这个根本属性为出发点，进行论述的。
先说明一下这个根本属性，数学究竟能不能减轻人类的思维负担，通过一个例子，我们可以领会到这一点的，我以前在一个群中，讲过一百个馒头一百个和尚的问题，今天为领会数学的根本属性重提一下。
这个经典数学题是：一百个和尚一百个馒头，大和尚一人吃三个馒头，小和尚三人吃一个馒头，问有多少大和尚，有多少个小和尚。我讲了近二十种做法，这些做法，可以分为三种层次，最初级的是猜的层次，我们去猜有多少个大和尚，多少个小和尚，猜了之后再去验证。虽然猜也有多种办法，但是，猜，毕竟不着调，甚至会有人认为，猜，根本不属于数学的范畴。第二个层次是算数的做法，这个问题，其实就是鸡兔同笼问题，按照鸡兔同笼问题的解题模式，形成一定的思维定式，这个问题就可以作出来。地三种层次就是代数的方法，用一元一次方程就可以做出，而且，如果使用二元一次方程，思路将更加简单。如果不允许使用方程的方法，我想，鸡兔同笼问题，很多大人，也未必能轻松地作出来，尤其是没见过鸡兔同笼这类问题的话，这个题，甚至是一个“难题”，但是，如果使用了一元一次方程，大家做的肯定快一些，如果使用二元一次方程，做的或许更快，至少，在思路的反应速度上，算术做法的思路，应该是呈现最慢的，或许有人半个小时都做不出来，使用一元一次方程的话，思路应该反应不慢，列方程不难。但是，如果使用二元一次方程，列方程的速度恐怕会更快一些，在第二层次的方法中，算术法虽然列综合算式很难，但是掌握了技巧，还是可以列出来的。但是，在第一层次的猜法中，还不一定猜的出来，猜的盲目性很大。
这样的话，比较三种层次的做法，我们可以看出，第一层到第二层，算术法将猜测法的盲目性不确定性给去掉了，而且，如果熟练地掌握了鸡兔同笼问题的解法，算术法的做法，肯定要比胡乱猜测快一些，在第三层次的做法中，我们可以很快的找到思路，哪怕是没见过什么鸡兔同笼，也可以轻而易举的列出方程来。列方程、解方程，比算术法列综合算式，我们的脑力负担要小得多了。大家想想，是什么原因，使得我们的解决问题的思维负担减轻了呢？为什么列方程，就比列综合算式简单呢？
实际上，就是因为使用了方程，所以使得问题变得简单了，方程是什么，是数学的一部分，所以呢，我觉得是数学，减轻了人类的思维负担。
还有现实中的很多问题，如果不用数学，是很难解决的，比如，你卖36元一件商品，客人拿出来100元，假如你不会算数的话，怎么办你会对客人说：“俺不收一百的，只收一块的”，然后要求客人拿出36张一元钱来，问题是，客人拿出来3张10元的，一张5元的，1张一元的，你也未必敢收啊。再举个你不会的例子，在高度2米的位置，砸两颗钉子，钉子相距1米，在两个钉子中间，拉一根2米的无弹性的绳子，没绳子的话，你能在墙上画出来绳子的形状么，如果使用初等数学的方法，是无法解决的，得用微积分，微积分也是数学的一个分支。强调一下，我们前面讲的“哲学分析”本质上讲也是数学。
数学能够减轻人们的思维负担，要有两方面的因素，一是与实践有关，一是与思维有关，因为我们的思维的目的，主要是应用于实践，来解决实际问题，与思维有关，很好理解，因为要减轻思维负担，怎么可能跟思维无关呢？除了思维的根本属性，我们用开放模式来解释数学哲学中的一些问题。
我们说减轻思维负担的两个因素，实践、与思维，在开放模式中，实践，可以对应开放模式中的外活动、外环境，思维，可以对应开放模式中的内活动、内环境，实践，是有一定的社会大环境的。比如，原始社会中，不可能有人发现微积分的。内环境就是指主体个人的思维习惯、知识经验、智力水平等、外活动，即实践，取决于社会大环境，也就是说外环境。思维活动，即内活动则取决于内环境，再说下实践和思维的作用，实践在数学的发展中，居于主导地位，数学应用的目标就是实践，所以一切要围绕实践来展开，所以实践，在数学的发展过程中，居于主导地位。另外一方方面，数学要减轻的是思维负担，所以，归根结底，究竟要怎样减轻思维负担，怎样建立数学理论，还得取决于我们的思维。综合起来说，实践决定建立什么数学理论。思维决定怎样建立数学理论，二者相辅相成，缺一不可。

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