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逻辑添加点什么,就变成了数学,数学添加点什么,就变成了科学,这点什么,就是哲学!
  ——玄易居士


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数学哲学讲座4(已初步整理)
作者:玄易居士 发表时间:2019-03-08 09:51:13 更新时间:2019-03-08 09:51:13

【摘要】
【关键词】

数学哲学讲座
幻影思维学群(166302011)2013年2月21日晚7:00

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玄易居士 
在前面,我们讲了数学的本质,今天,我们讲数学哲学最后一讲,讲一下数学的产生、建立的一般原则,以及数学发展的一般规律。
我们前面讲过,说数学的表现形态是多种多样的,但是无论何种形态的数学理论的建立,都要受到实践和思维两方面因素的约束,具体表现为三个方面
第一,数学理论是在解决实际问题的过程中产生的,伴生于具体问题之中
玄易居士 
我在生活中会遇到各种各样的具体问题,并会用我们的思维去解决,而此每一问题解决方法相比较,思维过程的难度与复杂程度等不同,这样就产生了如何减轻人类负担的问题,于是,数学就伴生于其中,这是实践决定实现发展的体现。
举个例子来说,自然数的产生,就是基于计数的需要,古人结绳记事,慢慢产生了数的概念,分数的产生,也是因为自然数无法满足人们计数的需要,为了正精确地计数,所以产生了分数,对于几何学的产生,是古人为了量地、分地的需要,或许还有建筑的实践的需要、观测星象的需要,等等。微积分的产生,是因为牛顿力学计算的需要,当初创立微积分的有两个人,牛顿和莱布尼兹,他们独立创立了微积分,而且,他们的继承者还互不相让,于是英国人对于微积分的表示方法,和欧洲大陆的表示方法,有着很大的差别,其实,还是莱布尼兹的表示方法更简洁一些,所以我们现在所学的,就是从莱布尼兹的方法发展而来的。
除了直接的应用,也有因为研究数学二产生的纯粹的数学,比如,虚数的产生,就是纯理论推广而来,群理论的产生,就是为了解决一元五次方程问题二产生的,非欧几何的产生,就是为了证明第五公设问题的副产品 ,当然,非欧几何中的黎曼几何,后来称为广义相对论的数学工具,这是黎曼几何的创立者所没有想到的。
数学理论建立的第二个方面,就是数学理论的建立,要符合逻辑规则,符合逻辑规则,是思维因素所决定的,数学,只有符合逻辑规则,才能保证是正确的,才可以用于推理、用于解决实际问题,符合逻辑,这一条应该很好理解,不多说了。
第三,数学的本质思想史形式化,形式化可以使的数学能够摆脱具体问题的限制,使得数学越来越抽象,同时也扩大了数学的应用范围。举个例子来讲,我们数手指头、数苹果、数糖块,用的都是自然数,而不是用三种理论,我们不可能数手指头使用一套自然数理论,数苹果又使用另外一套自然数理论,自然数理论的形式化,使得我们摆脱了手指头、苹果或者糖块的限制,以不变应万变,一套自然数理论数万物,需要指出的是,数学的这种形式化,是有层次的,形式化的基础上,还可以进一步形式化。比如,我们的自然数理论是对数苹果数糖块的形式化,自然数理论有扩展为代数理论,为了解决代数理论中的一元五次方程问题,伽罗瓦又对代数进一步抽象、进一步形式化,于是产生了群理论
玄易居士 
我们所学的代数理论,不过时伽罗瓦理论的一个特例而已,就好像,我们数苹果,不过时自然数理论的一个特例,我们所学的自然数理论、有理数理论、实数理论,也不过是伽罗瓦群理论的一个特例而已,这里说的是数学的形式化问题。
下面再说说数学发展的一般规律,我们前面说过完备性和纯粹性的概念,数学的发展,实际上就是完备性和纯粹性相互作用的结果,数学有没有到达完备性的那一天呢,哥德尔不完全性定理告诉我们,数学,无论怎样发展,总是不完备的,所以,数学理论的发展,也是无止境的。
数学不断发展的结果,总是使数学对象的范围越来越大,数学体系越来越完善,数学表现形式越来越简明,即数学表现形态越来越高级。事实上,数学对象、数学体系和数学表现形式分别可以作为衡量数学解放程数学数学度,数学发达程度和数学成熟的标准。
下面再说说数系的扩张,我们在幻影空间那一部分讲过扩张,在扩张的类型中,有一个理想扩张的的概念,我们当时说,自然数向整数的扩张,就是自然数关于加法运算的半理想扩张,正整数向分数的扩张,估计也是关于乘法运算的一种半理想扩张,没仔细考虑,不敢定论,数系在正整数向整数扩张的过程中,满足了减法运算的完备性,整数向分数的扩张,也是为了适应除法运算而扩张的,但是对于除法运算,出现了盲点,那就是0不能做除数,一旦出现了0做除数的情况,就会变得没有意义,如果在计算器中输入99除以0,马上就会出现e,错误。
 
这是我的电脑截图,要是手持计算器,估计会在最左端显示字母“e”。
如果在c++编程中,不小心出现了除数为0的情况,程序就会出现错误、崩溃、退出,为了解决0不能做除数的问题,昨天我们讲的那个有限无穷理论,就可以解决的,对于有限无穷的想法,昨天已经讲了很多,今天就不讲了。
在数学哲学中,还有一个颇有争议的问题,那就是数学的真理性:
第一,数学究竟是不是真理?
第二,数学是否真理,应该由什么标准来判定呢?
对于数学是不是真理,有人认为,数学的高度形式化,以及一些约定、还有一些可真可假的命题的存在,使得数学丧失了真理性,也就是说,不承认数学是真理,如果不承认数学是真理的话,有一个尴尬的处境,那就是,如果数学不是真理,那么由数学推导所得出的结论,还能是真理吗?显然不行。
所以呢,我觉得,数学还是具有真理性的,也就是说,我们得承认数学是真理。
第二个问题,如何判断数学是不是真理?
其实,第一个问题解决了,这个问题,就多余了,但是也有人提出这个问题,所以这里简单说一下。对于数学的真理性的判断,一般而言,有两派观点。
一派认为实践是判断数学是不是真理的标准,另外一派认为逻辑是判断数学是不是真理的标准,两种说法都有道理,但是我倾向于第二点。只要符合逻辑,数学就是真理。说到这里了,我们就说个数学的特殊特征:那就是数学永远是真的。如果有哪天,你发现数学错了,那么不是数学错了,而是你把数学用错地方了!
就好像一把菜刀,菜刀永远没错,你用来菜刀切菜,很好,菜刀可以很好的完成任务,如果你用菜刀来上网,你会发现,菜刀不能用来登录qq,也不能浏览网页。你说能怪菜刀么???不能,菜刀没错,错的是你用错了地方,如果你非要用菜刀上网,别人也没法子啊!
数学也是这样的,我们用自然数来数苹果,一般没问题,一个两个三个,再加三个就是六个,用来计算水的质量、体积也可以,2斤水加上5斤水,就是7斤,3升水加上6升水,就是9升水,也没问题,可以这样算。但是如果是1升水加1升酒精,合起来是2升吗?1+1=2,没错啊!1+1=2没错,但是不能用到这个地方。
其实,严格的来说,就像哲学一样,如果只有数学,那么数学不能解决任何实际问题,我们应用数学,都有一定的条件的,其实,那些附加条件,不仅仅是数学,更是一些生活经验,大家还记得那个公理化模式么?我们的数学,其实就相当于公理化系统,要是想应用数学,还得需要一个解释系统,与生活实际联系起来,我们为什么能够用自然数来数苹果?为什么?谁知道理论依据?
在小学有一个计数原理,大家听说过吗?不过大家都会用,计数原理,就把数数行为和自然数联系起来,正因为有计数原理作保证,我们才可以用自然数来数苹果、数糖块。计数原理,主要是说,我们数东西的时候,要一个一个的数,不能重复,也布恩那个漏掉,从1数起,数一个东西,数九加一,数到最后一个物体,对应的自然数就是所有物体的数量。

不是结束的结束,数学哲学讲座到此结束。



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