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6、从思维的角度论数学哲学
作者:玄易居士 发表时间:2019-03-05 20:51:06 更新时间:2019-03-05 20:51:06

【摘要】
【关键词】

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6、从思维的角度论数学哲学

61开放模式简介

开放模式是思维科学研究中的一个课题,其基本思想是人的实践活动决定了某一学问的研究对象,所处的环境决定了该学问的表达形式,学问体系则是由其对象所确定而不以人的意志为转移的。研究对象及其体系、表达形式就组成了一门学问的主要内容,如图1所示:

    对象即为研究对象,形式为表达形式,显然,对象,体系与形式是一体的,共存的,是组成学问的三要素。

  有意识的、正常的实践活动都是在思维的指引下进行的,思维活动,尤其是学问研究中的思维活动,无疑是极其重要的。因此,将思维活动与一般的实践活动区别开,分为内活动即思维活动、外活动即一般实践活动。同样,可以将对象、体系与形式分为内外两类。结合开放模式的基本思想便形成了开放模式,如图2所示:

外活动决定外对象,外环境决定外形式,外对象,外体系与外形式是一体的,共存的;内活动决定内对象,内环境决定内形式,内对象,内体系与内形式是一体的,共存的。内对象、外对象相对应,内形式、外形式相对应,内体系、外体系相对应。

  在学问产生与发展的初级阶段,往往表现为外对象、外体系与外形式,在高级阶段则表现为内对象、内体系与内形式。

62从思维的角度看数学

一般而言,往往把数学当作自然科学的一部分,但数学与物理、化学、生物等其它科学分支相比较,有着明显的不同。

  物理、化学等是实验科学,其真理性由实验所证实。无论人们是否理解,能否解释,只要为实验所证实,它就是科学,就是真理。但数学研究不同,起决定性作用的不是实验,而是演绎证明。比方说,人们用电脑验证了几万几亿的自然数满足“哥德巴赫猜想”,但是并不能说他们证明了“哥德巴赫猜想”,也不能说明“哥德巴赫猜想”就是数学真理。因此,有人比如钱学森院士把数学从自然科学中分离出来,与自然科学、社会科学相并列。从根本上讲,是因为演绎证明使得数学与其他科学部门相比较具有更多的思维属性。因此要从思维的角度看数学。

  众所周知,应用的广泛性是数学的主要特征之一。从古自今,从日常生活到尖端技术,从自然科学到社会科学各分支,无一能离开数学。数学化成为时代潮流,数学成为最重要的理论工具。从思维的角度看,这是因为数学能够减轻人类的思维负担。一方面,数学能够减轻人类的思维负担这一属性,为数学的广泛应用提供了可能性;另一方面,人们减轻思维负担的迫切需要,使得数学的广泛应用成为必然。

更进一步,为了强调数学的这一性质,将它作为数学的根本属性,即数学的根本属性在于它能够减轻人类的思维负担。在这里,它将是研究数学哲学的出发点。

63实践与思维

数学的根本属性在于它能够减轻人类的思维负担,包含了两方面的因素:实践与思维。同时也决定了实践与思维对数学作用的一般规律。

  在开放模式中,实践是外活动,思维是内活动,外环境可以认为是社会的习惯、社会的经验、社会大环境等综合在一起的社会发展状态。内环境则是一种思维习惯及其经验的综合状态。四者相互联系,相互影响,并且对数学的作用有所不同。

实践是数学根本属性的目标所在,如不以实践为主导,数学就失去了在实践中应用的前提条件。因此无法实现其根本属性,数学也就不在称其为数学。所以,实践是数学的主导者,它决定了什么样的数学理论及该理论向什么方向发展。

  人类思维有其自身的规律和特点,这就是建立数学理论的依据。如不然,思维就失去应用数学理论的基础,数学也就无法实现其根本属性。所以思维是建立数学理论的依据,它决定怎样建立数学理论,以及该理论如何发展。

实践决定建立什么数学理论。思维决定怎样建立数学理论,二者相辅相成,缺一不可。

64数学的对象

数学的根本属性在于它能够减轻人类的思维负担,因此,人类思维对象就是数学研究对象,即广义数学对象。所谓广义数学对象指数学应用所涉及的对象;狭义数学对象指数学理论所涉及的概念,命题等。分别与广义对象,狭义数学对象相对应,有客观体系,主观体系。在这里广义数学对象相当于开放模式中的外对象,狭义数学相当于内对象。

  数学有研究对象,无论是数,还是形,还是结构,或者哲学意义上的量,都是客观世界直接或间接的在人脑中的反映,是反映在人脑中的一种思维形式。一切事物都要以一定的思维形式反映于人脑中,作为思维的对象。显然,广义对象,狭义对象都是思维形式。因此数学的研究对象是思维形式。

  一切事物是相互联系的,反映于人脑中的思维形式也必然保持了其原有的联系。因此,各数学对象之间必然有着或多或少的联系。人类思维的抽象性和抽象的层次性关系决定了各数学对象之间必然具有相应层次关系,并因此而表现各种联系。

数学的研究对象即思维形式的抽象性和抽象的层次性是数学能够减轻人类思维负担的根本性因素。

65数学的本质

数学的研究对象是思维形式,而一切事物都要以一定的思维形式反映于人脑中,因此人类思维的范围有多大,数学应用范围也就有多大。但在不同的领域内,数学发展阶段不同,即数学化程度不同。由数学的根本属性及其研究对象所决定,各科学学科的数学化是必要的,是可行的,并且是必然的。

  数学在不同的发展阶段表现形态是不同的。在低级阶段,往往感觉不到数学的存在,仅是潜意识的应用而已;在初级阶段数学表现为外对象,外体系和外在表现形式,所谓外在表现形式是指数学理论的语言描述,记法等;在高级阶段,数学表现为内对象和内体系。但是,公理化的思想以及形式主义学派的基本思想都表明数学最深刻最本质的思想方法即数学内在表现形式,才是真正的数学的灵魂。由此可知,数学形态是多样的,要具体情况具体分析。

实际上,数学是研究思维形式的科学,其根本属性在于它能够减轻人类的思维负担,其表现形态是多样的,这才是正确,全面的数学观。

66数学产生与建立的一般原则

数学的表现形态是多样的,但无论何种形态的数学理论的建立,都要受到实践与思维两方面因素的约束。

  一、数学理论伴生于具体问题,即伴生原理。我在生活中会遇到各种各样的具体问题,并会用我们的思维去解决,而此每一问题解决方法相比较,思维过程的难度与复杂程度等不同,这样就产生了如何减轻人类负担的问题,于是,数学就伴生于其中,这是实践决定实现发展的体现。

  二、数学理论符合逻辑规则,即逻辑原理。有且只有这样,数学才能保证其逻辑正确。逻辑是思维规则,这是思维决定如何建立数学理论的体现。

三、数学的本质思想是形式化,即形式化原理。形式化摆脱了具体问题的限制,使数学越来越抽象,同时扩大了其应用范围,由于摆脱了具体问题的限制,数学表现形式也就更简明,从而便于理论研究。同时,因为脱离了具体问题,数学才被解放,数学才能统一,这是数学由低级向高级发展的表现。

67数学发展的一般规律

实践和思维的地位、作用决定了实践是数学发展的根本动力。而思维是数学得以完善的主要因素。

客观世界的多样性,统一性,反映于思维就构成了完备性与纯粹性这一对矛盾。人们对事物的多样性,统一性的认识是一个渐进的,辨证的过程。这就决定了数学的发展实质上就是数学理论的纯粹性与完备性对立斗争过程。完备性要求,使数学对象扩张。这种扩张打破了理论的纯粹性以后,纯粹性要求有把数学纳入到一个更高级的数学系统中。而后再进行完备性扩张,纯粹性升级,如此周而复始,数学就不断向前发展。同时数学表现形式越来越简明因为这样更有利于数学实现其根本属性。实践作为数学发展的根本动力,是造成数学对象的扩张并引发数学革命的重要因素。

数学不断发展的结果,总是使数学对象的范围越来越大,数学体系越来越完善,数学表现形式越来越简明,即数学表现形态越来越高级。事实上,数学对象、数学体系和数学表现形式分别可以作为衡量数学解放程数学数学度,数学发达程度和数学成熟的标准。

6、8 数系扩张

    由自然数向整数的扩张为某些一元运算的全理想扩张和某些二元运算的半理想扩张,由正整数向正有理数的扩张也为某些一元运算的全理想扩张和某些二元运算的半理想扩张。现以向整数的扩张为例加以证明。

1、  证明正整数向整数的扩张为某些一元运算的全理想扩张。

证明:构造一元运算fik (xil)=xil+k,则

(1)任意fik,xil, 总有xjm=xil+k(整数对加法运算是封闭的)使得xjm= xil+k=fik (xil) 成立。                      

(2)任意fik,xil,总有xjm=xil-k(整数对乘法运算是封闭得)使得xil =(xil-k)+k=fik (xjm)成立。

(3)任意fik(xil)= fik (xim)xil+k= xim+k,则xil = xim成立,这也是显而易见的。

综合(1)、(2)、(3)式可知整数集是自然数集关于一元运算fik (xil)=xil+k的全理想扩张,其中f为恒等映像。

2、证明正整数向整数的扩张为加法运算的二元半理想扩张。

  证明:对任意xil, xim,令fik (xil,xim)=xil+xim,则

  (1)对任意xil,xjm,总有xjn=xil+xim(已知整数对加法运算是封闭的),使得xjn= xil+xim=fik (xil,xim)

(2)对任意xil,xjm,总有xjmxjn=xil-xim(已知整数对减法运算是封闭的),使得xil =xjm+(xil-xjm) = fik(xjmxjn)

综合(1)、(2)式可知正整数向整数的扩张为加法半理想扩张。

6、9有限无穷初探

基于极限理论的戴德分割,区间套等实数构造理论,以及以“过程量”为基础构造非标准实数时,都系用了无限序列即一种参照理论。它们是以自然数为参照系统一直排列第ψ项。并将该项作为相应的实数或非标准实数。这种参照理论虽然能保证理论体系的严密性,但却容易产生一种错觉,以为实数或非标准实数依赖于过程而存在。尤其,非标准实数更是如此。其实,无论是标准实数还是非标准实数,都是自由存在的,并不依赖于任何其它过程。过程量或极限只是一种逻辑手段。

根据康托尔超限数理论,À0为自然数的基数,À0用近似的观点解释上式是成立的。正如四舍五入法取近似值14=10一样。但若等式两边同时乘以2,在按四舍五入法取近似值则等式 28=20就不成立了。同样,在超限数理论中近似原则尚可,但在无穷小分析中却不能忽略“1”的微小差别。数学史上第二次危机即无穷小危机就是由于对这个微小差别认识混乱所造成的。

    为解决无穷小所带来的各种问题,柯西等人用极限来取代无穷小。从此,无穷小在数学分析中消失了。直到二十世纪五十年代,逻辑学家罗宾逊在数理逻辑中证明了无穷小的存在并创立了非标准分析理论。无穷小又回到了数学分析中,并且显得越来越重要了。无论是柯西极限理论的e¾N语言,还是《现代无穷小分析引论》中的“过程量”与“超滤子”似乎都比“无穷”还难以理解。虽然在逻辑上是严密的,但并不符合普通人的思维习惯。因此,数学分析还需要更好的理论工具。      

阿基米德,康托尔等人发现按照一一对应法则,无穷集的基数可以等价于其某个真子集的基数,这被称为无穷与有限的本质区别。但按直觉,自然数的全体似乎要比偶数多一些,有理数与自然数相比就显得更多了。但康托尔却能证明三者的基数是等价的。虽然康托尔给出了严格的逻辑证明,但是还不应该据此确认直觉是错误的,原因是两者判断基数大小的角度与标准是不同的。         

实践表明,一遇到无穷问题,就会自然而然的用到一个假设,不妨成为原理,即基数不变原理:自然数的基数,在同一系统中是处处相同的。并且规定它可以象普通数一样进行运算。并且服从相应的运算规则。以此为基础构造无穷理论,则分析结果与直觉相符。但在分析过程中若违背了基数不变原理,则有可能产生各种矛盾。这样,在数学分析过程中,就可以更好的发挥直觉的导向作用,同时使无穷理论更为通俗。

     数学分析的重要基础是连续统与实数构造理论。而实数构造又是数系扩张的一部分。通过数系扩张的比较发现,由自然数到有理数的扩张与构造,是以运算为基础的。而有理数到实数扩张的极限理论以及标准实数到非标准实数扩张的“过程量”理论,是以“数”为基础的,这是两种不同的数系扩张手段。前者是由因求果显得水到渠成,自然而然,而后者则是由果求因,因此为了逻辑上的严密,不得不用一个比被定义的概念更复杂更难懂的概念,来定义一个简单但重要的概念。

扩张理论就是解决无穷问题的过程中,结合数系扩张的概念提出的。作为独立的理论,它不仅适用于数系扩张,而且有益于其它有关理论系统扩张问题的研究。由正整数扩张为正有理数,再由正有理数扩张为全体有理数,这一途径是毫无疑问的。但若换一种途径,先由正整数扩张为整数,而后再扩张至有理数,则会产生0不可做除数的限制,这种现象不妨称为0-破缺。但如果借鉴非标准分析的经验,引入近似思想正如引言所说,引入基数不变原理,并定义自然数的基数为单位(标准)无穷大,规定其倒数为单位(标准)无穷小。于是无穷大、无穷小就有了一个标尺,而且是统一的标尺,不再产生争议。

虽然如此,问题仍未完全解决,这就显示出引入近似原理的重要性。正如标准实数与非标准实数的关系,一个标准实数等价于无限多个与之等价的非标准实数。规定论域中的一切数是近似数,每一个数等价于(无限)多个与之等价的更精密的未知数。这样规定后,在同一论域中就不存在两个绝对相等的数。就是同一个数,在不同位置出现时,也不是绝对相等的。因此,在该数域中就不存在绝对的“零”元素。一切“零”都是近似的,倒数为相应阶的无穷大。这同时告诉我们一种方法,当出现与“零”或“无穷大”有关的矛盾时,可以构造更为精密的数系,在新的数系中就会发现“零”非“零”,一切矛盾游刃而解。“零”是产生矛盾的根源,又是解决问题的突破点。由此而论任意数都不是绝对精确的,数学的精确性只是相对的。

    再看康托尔超限数理论,他也给无限分了等级,但他的标尺不够精密,以至于n+À0=À0   

   n*À0=À0  À0n=À0 (n 为自然数).与之相比,罗宾逊的非标准分析要精密得多,定义自然数为w个,则偶数有w/2(w-1)/2个这在《现代无穷小分析引导》中,已经解决,引入基数不变原理之后,只是说当我们用到无穷一词或等等时,把无穷或等等后的一系列到w    项,但并不规定或限制 w为最大的自然数或一切自然数比w小,在同一系列中,当我们说1,2,3,等等时,就是指要要排列到w(第w项),而w之后的则被省略。但如果说0,1,2,……,则最后一项为w-1。这与非标准分析的结论是一致的,所不同的时他引入了一个逻辑严密,但本末倒置的理论来证明这点,而基数不变原理则直接引入一个基于直觉但合理的假设来得到这一结论。

    在考察正有理数的基数,不考虑可通约性(因为这样应用素数的许多结论,产生许多麻烦),考虑每两个正整数都可以构成一个有理数。这样正有理数的个数为w*w个,要比正整数要多得多。前者是后者的w倍。但由于康托尔的“标尺”不够精密,以至于w*w=w,因此在康托尔看来正整数和正有理数是一样多的。另一方面,在比较正偶数与正整数的多少时,当正整数排到w时偶数已经排列到2w(第w个)。如果正整数也排到2倍的w,它仍然是偶数个数的2倍。至此,康托尔超限数与直觉间的分歧已经明朗了。  

连续统是数学分析的重要基础,但基数不变原理能保证这种严格的连续性吗?答案是肯定的,但应辨证的分析,也就是说基数不变远原理可以给我们提供一个连续统,使它满足连续性需要,可如果放在一个更精密的数系中检查原来的连续统,会发现他并不连续,而是有无限多个漏洞存在,但我们还可以构造一个更精密的连续统,是他在该标尺下看起来是连续的。当然,这也是以基数不变原理的基础构造的。因此,总可以构造一个连续统使他在现有标尺的观察下是连续的,当然,任一连续统总是存在这么一个标尺,使该连续流看起来并不连续。如此同理,数域上的阿基米德性质,也是相对的。可以通过某扩张(如 f-- 扩张)使阿基米德定律不成立。当然,还可以再扩张,又使阿基米德性质成立,如此循环不已。

   根据基数不变原理,当采用小数表示实数时,可以想象每个实数的小数字位数为w。因此纯小数的个数应为w,这于连续统的基数10À1=À1是相同的,另外,如果采用2进位制,则纯小数的个数应为 2À=À1。这与康托尔连续统基数的表达方式一模一样。这也证明了基数不变原理的合理性。另外,还可以证明该理论满足极限理论的连续性质,也可以满足非标准分析非标准实数的性质,而且还可以提供比非标准分析更为精确的数系模型。


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