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思路逻辑
作者:玄易居士 发表时间:2019-03-09 16:24:06 更新时间:2019-03-09 16:24:06

【摘要】现代逻辑发展分支众多,谓词逻辑是命题逻辑的扩张系统,哲学逻辑是命题逻辑和谓词逻辑的扩张系统。反向思考构建出比命题逻辑更简单的思路逻辑,从而使命题逻辑成为思路逻辑的扩张系统。逻辑系统包含命题和联结词两部分,逻辑系统的扩张也有两种途径,一是联结词的增加变更,使思路逻辑扩张为命题逻辑,二是命题结构的改变,使思路逻辑扩张为含谓词的思路逻辑。
【关键词】逻辑,思路逻辑,谓词,扩张

上世纪八十年代,钱老首倡思维科学,勾画出思维科学体系结构。在思维科学体系中,逻辑学、形象思维学和灵感学作为基础科学,作为“思维学”,也只有逻辑学部分比较成熟,其他两部分还有待于创立[1]。因此,研究思维科学,研究逻辑学,是继承、发扬钱学森科学思想的重要组成部分。
1.既往的研究与启发
从亚里士多德起,逻辑学的研究已经有两千多年的历史,逻辑学包括两大类,一类是形式逻辑,一类是辩证逻辑。形式逻辑又包括演绎逻辑和归纳逻辑两大分支。演绎逻辑又分为传统逻辑和现代演绎逻辑(亦称数理逻辑)。[2] 现代逻辑基本理论是多方面的,大致可以从一下四方面看,一是数理逻辑方面……二是哲学逻辑方面……三是逻辑学和树立语言学的交叉方面……四是逻辑学和计算机科学的交叉方面……哲学逻辑可说是各种非经典逻辑分支的统称。[3]
哲学逻辑方面的分支一般都是以命题逻辑、谓词逻辑为基础,与传统哲学中的概念、范畴和问题有直接或间接的联系……非经典逻辑的门类很多,大致有两大类,一类是在经典逻辑中添加其他概念,成为经典逻辑的扩张系统……另一类主要是对通常所说的逻辑常项(命题联结词和量词)的解释不同,而成为与经典逻辑不同的逻辑。[4]
从上面的资料可以看出,现代逻辑种类纷杂繁多,但是都是以命题逻辑和谓词逻辑为基础,进行适当地扩充解释或者与其它学科交叉而形成的。因此,命题逻辑、谓词逻辑是现代逻辑学的基础。
非经典逻辑是经典逻辑的扩张,换个方向考虑,有没有比命题逻辑更简单的逻辑呢,或者说,是否存在一个逻辑系统,命题逻辑可以看做是这种逻辑系统的扩张呢?顺着这个思路,可以构造出一个更简单的逻辑——思路逻辑。
2.思路逻辑
先看个简单的几何题:
 
图 1
如图1所示:直线ab、cd、ef、gh,ab、ef相交于点i,cd、ef相交于点j,ab、gh相交于点k,cd、gh相交于点l。已知:∠eib = ∠ejd,求证:∠gkb = ∠gld
在几何中证明方法有三类:分析法、综合法、反证法,其中反证法属于间接证明法。
分析法的证明思路是欲证∠gkb = ∠gld,只需证明ab∥cd(根据平行线性质公理两直线平行同位角相等),欲证ab∥cd,只需证明∠eib = ∠ejd(根据平行线的判定公理同位角相等两直线平行),而∠eib = ∠ejd已知,故∠gkb = ∠gld。
综合法的证明思路是根据平行线的判定公理同位角相等两直线平行由∠eib = ∠ejd可推导出ab∥cd,再根据平行线性质公理两直线平行同位角相等由ab∥cd得出∠gkb = ∠gld,即:
∠eib=∠ejd => ab∥cd => ∠gkb = ∠gld
对以上思路进行分析:
(1) 思路包含命题。
    如∠eib=∠ejd,ab∥cd,∠gkb = ∠gld等就是命题。
(2) 命题间推导关系,也是命题。
    如∠eib=∠ejd => ab∥cd,也是一个命题。
(3) 命题及其推导关系,联接成一个复杂的网络,从一些命题出发,沿着网络推导得出其它命题的过程,就是一个解题思路。
(4) 只考虑真命题即正确的命题或假设为正确的命题,假命题即错误的命题、无法证明成立且为假设正确的命题,不在思路的考虑范围内。
如∠fib = ∠gld,ab∥ef,也是命题,但是不成立的错误命题,或者无法证明其成立的命题,在分析法和综合法中对于解决问题没有任何意义,无需考虑。
基于以上分析,我们可以抽象出一种关于思路的简单逻辑,称之为思路逻辑:
(1) 命题:p1、p2、p3、…等。
    无论什么逻辑,都离不开命题。和命题逻辑一样,思路逻辑也要包含一组命题。
(2) 联结词:( ) , →
→表示推导,导出、蕴含,命题间的逻辑蕴涵关系。
复合命题a→b的成立与否,与a是否成立没有关系,如命题p:同位角相等,命题q:两直线平行,命题p是否成立,取决于具体情况,上面几何题中∠eib,∠ejd,这对同位角就是相等的∠eib=∠ejd,但是∠fib,∠hkb这对同位角却是不等的,但是无论具体的同位角是否相等,也就是说,无论p是否成立,p→q却终是成立的。
两个括号 ( )及逗号 ,  这三个附加符号,如果→前面需要多个命题条件,可以用括号括起来并用逗号隔开来表示,如:
(a,b)→c
(a,b,c)→d
(3) 演绎规则:(a,a→b)→b。
    表示如果a成立,a→b成立,那么b一定成立。
    演绎规则有着特殊的意义,括号中逗号后的a→b,即由a推知b,相当于我们在实践经验中总结出来的规律性结论,是一般性的理论规律,体现了事物本身的逻辑规律。括号中逗号前的a,相当于我们对现实形势等具体情况的判断,认为目前情况是a,那么我们可以推知b。b成立与否取决于两个方面,一是对现实的判断,是否是a,二是应用理论a→b是否正确。如果a、b之间没有什么逻辑关系,也就是说a→b的逻辑关系是错误的,那么根据a推知b就是不可靠的。另一方面,a→b是正确的,但是对具体情况判断失误,不是a的情况判断为a,得出的结论b也是不可靠的。
在思路逻辑中,推导→具备传递性,若a→b,b→c,则a→c 即(a→b,b→c)→(a→c)。证明如下:
方法1:a→c,意思是假设a成立,则c成立,欲证c成立,只需证明b成立,欲证b成立,只需证明a成立,而a假设成立,所以,若a成立,则c成立,即a→c。
方法2:若a成立,由已知a→b,根据演绎规则(a,a→b)→b可知b成立,又已知b→c,根据演绎规则(b,b→c)→c可知c成立,故a→c成立。
演绎规则(a,a→b)→b中的a可以是几个命题的组合,如两个命题的组合:
(a1,a2,(a1,a2)→b)→b ,
或更多命题的组合:
(a1,a2, a3,…,( a1,a2, a3,…)→b)→b。
在演绎规则中,无论p如何改变,命题的组合形式都要保持一致。
对于(a→b,b→c)→(a→c),研究目的不同,关注点也不同,关注结论(a→c),获取更多可直接利用的结论,比如在欧几里得几何中,公理公设只有寥寥十余条,直接应用的话,显然无法满足人们的要求,所以推导出许多定理以便直接使用,比如勾股定理在使用过程中,不必在考虑勾股定理到底是怎么证明出来的。也就是说,不用考虑(a→b,b→c)的过程,只要应用结论(a→c)就可以了。合理应用数学家发现的既有定理,显然可以极大地节省时间,可以避免走弯路、犯错误。甚至有些问题,没有这些定理就无法解决!比如在建筑工地上利用勾股定理确定直角,显然要比用量角尺精确高效。
关注条件(a→b,b→c)而舍弃结论(a→c),获取更合理简洁的理论体系。比如在几何研究中,几何中有成百上千个结论,但是希尔伯特公理体系中却只有五组20条公理:
    Ⅰ. 1~8. 关联公理
    Ⅱ. 1~4. 顺序公理
    Ⅲ. 1~5. 合同公理
    Ⅳ.       平行公理
    Ⅴ. 1~2. 连续公理[7]
就是这5组20条公理作为几何学的基础,推导出了几何学中的所有结论。很显然,在寻找基本公理的过程中,关注的是条件而不是结论,对于能够有其他条件推导出的结论,就被摈弃,不得作为公理。当然,有些命题可以相互推导,这时候摈弃哪些命题,选择哪个命题作为公理就根据具体情况决定了。
3.含有谓词结构的思路逻辑
逻辑学是关于抽象思维的逻辑形式及其规律的科学[5]。如形式逻辑研究的是概念、判断、推理等思维形式及其规律,命题逻辑研究的是命题及与、或、非、蕴含等逻辑运算规则等,思路逻辑研究的是命题、命题间推导关系及其规律,所以思路逻辑也是逻辑学的一部分。
命题逻辑至少包含以下内容:
(1) 命题:a、b、c、p、q、r等。
(2) 真值:真、假,命题有真假之分。
(3) 联结词:(、)、,、∼、∧、∨、→、↔等。
    存在不同的联结词完全集,但是不同的完全集之间是等价的。
(4) 公理、演绎规则等
思路逻辑与命题逻辑相比,区别有两点:
首先是真值问题,在命题逻辑中有命题真值,在思路逻辑中取消命题真值,只考虑真命题,不考虑假命题,因此命题真值在思路逻辑中没有意义。
其次是联结词不同,除了附加符号括号“(”“)”和逗号“,”外,联结词只有一个推导“→”,而命题逻辑中联结词有多个,如{∼、∧、∨}等。虽然命题逻辑联结词的完全集有多种,但是无论是哪种形式的联结词完全集{∼, ∧}{∼, ∨}{∼, →}{↓},都或明或暗的包含着∼以及∧、∨、→三者中的一个,如用↓表达∼, ∧[6]。思路逻辑与命题逻辑相比,没有∼联结词。
这两点是相辅相成的,没有真值区别,也就无需用到非(∼)联结词,没有非(∼)联结词,也就无法体现命题真值的意义。与命题逻辑相比,思路逻辑没有真值区别、联结词没有非(∼),因此可以说思路逻辑是一种比命题逻辑更简单的逻辑,而命题逻辑也可以看做是思路逻辑的扩张(扩充),命题逻辑是在思路逻辑的基础上,增加联结词非(∼),是思路逻辑的扩张系统。
谓词逻辑可以看做是命题逻辑的扩张,这个扩张有两个方面:一是命题的结构,在命题逻辑中,命题只是最简单的项,如命题p、q,不具备内部结构,而在谓词逻辑中,命题已经不再是简单的项,具备了复杂的结构,如命题p(x),q(m,n)。另一方面是因为命题结构的改变而增加新的联结词,如∀、∃。
在正整数向有理数的扩张时,有两种扩张途径,一是先以除法运算为根据,将正整数扩张为正分数,然后再以减法运算为依据,将正分数扩张为有理数;二是先以减法运算为根据,将正整数扩张为整数,再以除法为依据,将整数扩张为有理数。同样的道理,思路逻辑到谓词逻辑的扩张,也有两种途径。
思路逻辑扩张为命题逻辑,命题逻辑再扩张为谓词逻辑,是先从联结词方面扩张,然后再从命题结构方面扩张(同时伴随着联结词的增加),其实也可以换个顺序,先从命题结构方面扩张,将思路逻辑扩张为含有谓词结构的思路逻辑,然后在增加联结词进一步扩张为谓词逻辑。
含谓词的思路逻辑包含以下内容:
(1) 个体常项或变项:a,b,c,x,y,z,…
    所要描述的对象,如a可以表示苏格拉底,b表示哲学家。
(2) 谓词项:m,n,p,q,r,…
    表示个体常项或变项的性质,如p(苏格拉底)可以表示苏格拉底是哲学家,那么p(罗素)表示罗素是哲学家。
(3) 联结词:( ) , →
    联结词的意义同思路逻辑。
(4) 演绎规则:(p(a1,a2,…),p(x1,x2,…)→q(x1,x2,…))→q(a1,a2,…)
    p、q可以含有一个个体常项或变项,也可以含有多个个体常项或变项,如(p(a),p(x)→q(x))→q(a),或(p(a,b),p(x,y)→q(x,y))→q(a,b)。
同思路逻辑一样,演绎规则中p也可以是多个命题的组合,如
p(x1,x2,…)可以是(p1(x1,x2,…),p2(x1,x2,…), p3(x1,x2,…),…)
演绎规则就变成了:
(p1(a1,a2,…),p2(a1,a2,…), p3(a1,a2,…),…,
 (p1(x1,x2,…),p2(x1,x2,…), p3(x1,x2,…),…)→q(x1,x2,…))
→q(a1,a2,…)
p(x1,x2,…)也可以是(p1(x1),p2(x2), p3(x3),…)
演绎规则就变成了:
(p1(a1),p2(a2), p3(a3),…,
 (p1(x1),p2(x2), p3(x3),…)→q(x1,x2,…))
→q(a1,a2,…)
在演绎规则中,无论p如何改变,谓词和常项(或变项)的组合形式都要保持一致。
在没有增加更多联结词的情况下,(p(a1,a2,…),p(x1,x2,…)→q(x1,x2,…))→q(a1,a2,…)中(x1,x2,…)→q(x1,x2,…)的x1,x2,…是指任意的x1,x2,…,实质上就是一个代换,用a1,a2,…代换x1,x2,…后,命题(p(x1,x2,…)→q(x1,x2,…))依然是成立的。
含谓词的命题有更强的表达能力,可以用少数符号表达更多的命题。比如5个个体常项、6个谓词符号组合,可以表达30个甚至更多个命题,但是符号仅用了11个。如果每一个命题都用单一符号来表示,至少需要30个符号。另外,将命题解析为谓词和个体常项(或变项)更符合人们的思维习惯,比如自然语言中,最重要的句子结构就是主谓结构,命题p(a)中的a在某种意义上可以可以理解为主语,p则可以理解为谓语,p(a)就是a满足p。更重要的是,谓词和常项或变项组合而成的命题,能够解决单一命题符号表达说不能解决的问题。比如一个经典的三段论:
所有的人都会死,
苏格拉底是人,
所以苏格拉底会死。
用单一符号表示命题,推理模式就是(p,q)→r,逻辑上讲不通,所以就要考察命题的内部结构。实际上,“所有的人都会死”这个命题包含两部分内容,应该是两个命题的组成的复合命题,形式为:p(x)→q(x),p(x)表示x是人,q(x)表示x会死。“苏格拉底是人”则表示为p(苏格拉底),这样的话,根据演绎规则,就可以得出结论“苏格拉底会死”也就是q(苏格拉底),公式表示:
(p(苏格拉底),p(x)→q(x))→q(苏格拉底)
因此,含有谓词的逻辑就可以解释不含谓词的逻辑所无法解释的推理问题。
与不含谓词的思路逻辑一样,推导→具备传递性:
(a(x1,x2,…)→b(x1,x2,…),b(x1,x2,…)→c(x1,x2,…))→(a(x1,x2,…)→c(x1,x2,…))
证明方法同上一节中推导→的传递性的证明类似,不再赘述。
4.结束语
通过研究命题逻辑、谓词逻辑和哲学逻辑的扩张(扩充)关系,逆向思维提出比命题逻辑更简单的思路逻辑。与正整数扩张到有理数的两种途径类比,思路逻辑扩张到谓词逻辑也有两种途径,一是先扩张为命题逻辑,再扩张为谓词逻辑,二是先扩张为含有谓词的思路逻辑,再扩张为谓词逻辑,使得逻辑的扩张脉络更为完整。
逻辑的扩张远不止于此,在逻辑系统的基础上用公理化的方法构建的数学系统,虽然超出了逻辑的范畴,但某种意义上也可以看作是逻辑系统的扩张,自然语言人工语言等各种语言系统都离不开逻辑作为核心,或许也可以看作是逻辑扩张的结果。
当代教育提倡的是素质教育,但是综合素质高低不好量化考察,在具体的学习与考试中,应用所学知识提高解决问题的能力才是重点,而解决问题的核心是思路。只要思路准确,问题就容易解决了。几何的学习,各种点线面图形关系如果熟烂于心,相关命题的推导关系形成一张网,就很容易找到由条件证明结论的思路。就如一个司机将交通路线图印在脑海中一样,从哪儿到哪儿都可以直接选出最佳行驶路线。因此在学习中,各知识点形成一个完整的有机网络,熟练掌握命题间的推理关系,是提高问题解决能力的关键。熟练掌握既有思路在提高解决问题思维效率的同时,也容易形成思维定势,有可能会影响创新思维能力的发挥。由于人们的抽象思维是分层次的,理论系统是分层次的,所以思路也是分层次的。各层次的思路有机融合,灵活应用,才不至于因为思维定势而限制创新思维能力。

参考资料:[1] 卢明森,钱学森思维科学思想,北京:科学出版社,2012:23 [2] 蔡贤浩,形式逻辑,武汉:华中大学出版社,2000:5 [3] 张清宇,郭世明,李小五,哲学逻辑研究,北京:社会科学出版社,1997:1-2 [4] 张清宇,郭世明,李小五,哲学逻辑研究,北京:社会科学出版社,1997:3-4 [5] 田运,思维辞典,杭州:浙江教育出版社,1998:549 [6] A.G汉密尔顿著,朱水林译,数理逻辑,上海:华东师范大学出版社,1986:20-22 [7] [德]希尔伯特著,江泽涵,朱鼎勋译,希尔伯特几何基础,北京:北京大学出版社,2013:3

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